marzo 2011 ~ SOLO TIPS

El español como idioma oficial se habla en los siguientes países:

(entre paréntesis los millones de personas que hablan español)

En América del Norte

México (97,9)

En América Central

Guatemala (10,6), El Salvador (5,9), Honduras (5,9), Nicaragua (4,5), Costa Rica (3,3), Panamá (2,6), Cuba (10,6), Puerto Rico (3,9), República Dominicana (7,9).

En América del Sur

Venezuela (22,2), Colombia (34,9), Ecuador (12,6), Perú (25,1), Chile (14,2), Bolivia (8,4), Paraguay (4,8), Argentina (34,2), Uruguay (3,2).

En África

El español es también idioma oficial de Guinea Ecuatorial (0,4).

En Europa

Obviamente, España (41,1).

Países o zonas del mundo donde se habla español sin que sea idioma oficial:

-En la Guyana y en Belice, el español es hablado por una parte importante de la población a causa de la cercanía con los paises hispanohablantes. .

-En Filipinas, se emplean más de ochenta idiomas ; el español es uno de ellos. Filipinas hizo parte del imperio español al cual se incorporó a mediados del siglo XVI.

Su nombre viene de Felipe II, era el idioma de la clase gobernante.

-En Estados Unidos, el español es el segundo idioma en número de locutores.

Lo hablan 17´339,000 personas como su principal idioma en casa sobre todo en el sur de los Estados Unidos (Miami, Los Angeles).

-En Sahara Occidental, territorio autónomo supervisado por la ONU, antigua colonia española pero ocupada mayormente por Marruecos. Se habla árabe, de facto y español, de iure.

Dentro de las matemáticas, las identidades trigonométricas son de gran utilidad para simplificar, convertir y/o determinar valores entre las distintas funciones.

Relaciones básicas

Relación pitagórica $\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,$ Identidad de la razón $\tan \theta = \frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta}$

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si $\scriptstyle\operatorname{sen} \theta \,=\, 1/2$ , la conversión propuesta en la tabla indica que $\scriptstyle\cos\theta\,=\,\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} = \sqrt{3}/2$ , aunque es posible que $\scriptstyle\cos\theta \,=\, -\sqrt{3}/2$ . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones trigonométricas en base a las otras cinco

sen	$\operatorname{sen} \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\csc \theta}$
cos	$\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}$	$\cos \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$
tan	$\frac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
cot	${\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} \over \operatorname{sen} \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	${1 \over \tan\theta}$	$\cot\theta\$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
sec	${1 \over \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	${1 \over \cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$	$\sec\theta\$	${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
csc	${1 \over \operatorname{sen} \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta\$

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\tan{x} = \frac {\operatorname{sen}{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\operatorname{sen}{x}}$

$\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\operatorname{sen}{x}}$

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

$\operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)$

$\operatorname{sen}(-x) = \operatorname{sen}(x+\pi) \qquad \cos(-x) = -\cos(x+ \pi)$

$\tan(-x) = -\tan(x) \qquad \cot(-x) = -\cot(x)$

$\operatorname{sen}(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos(x) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \qquad \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

$a\operatorname{sen}(x)+b\cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\operatorname{sen}\left( x+\arctan{\frac{b}{a}} \right)$

$\operatorname{sen}^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

$\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)$

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

$\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right)$

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

$\operatorname{sen}(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \qquad \operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\tan^{-2}(x)}}$

$\operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\cot^2(x)}} \qquad \operatorname{sen}(x) = \frac{1} {\sec{x}} \sqrt{\sec^2(x)-1}$

y análogamente con las restantes funciones .

Teoremas

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

$\operatorname{sen}(x \pm y) = \operatorname{sen}(x) \cos(y) \pm \cos(x) \operatorname{sen}(y)$

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

$\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

$\operatorname{sen}(\pi \pm x) = \mp\operatorname{sen}(x)$

$\cos(\pi \pm x) = -\cos(x)$

$\tan(\pi \pm x) = \pm\tan(x)$

$\csc(\pi \pm x) = \mp\csc(x)$

Para ángulos complementarios:

$\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{sen}(x)$

$\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot(x)$

$\csc\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec(x)$

$\sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc(x)$

$\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)$

Para ángulos opuestos:

$\operatorname{sen}\left(-x\right) = -\operatorname{sen}\left(x\right)$

$\cos\left(-x\right) = \cos\left(x\right)$

$\tan\left(-x\right) = -\tan\left(x\right)$

$\csc\left(-x\right) = -\csc\left(x\right)$

$\sec\left(-x\right) = \sec\left(x\right)$

$\cot\left(-x\right) = -\cot\left(x\right)$

Identidades del ángulo múltiple

Si T_n es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

$\operatorname{cos}(nx)=T_n(\cos(x)).$

Fórmula de De Moivre:

$\operatorname{cos}(nx)+i\operatorname{sen}(nx)=(\cos(x)+i\operatorname{sen}(x))^n$

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea $\operatorname{sen}(x+x)=$ ) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando $n = 2$

Fórmula del ángulo doble
$\begin{align} \operatorname{sen} 2\theta &= 2 \operatorname{sen} \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \operatorname{sen}^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \operatorname{sen}^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\,$	$\cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\,$
Fórmula el ángulo triple
$\operatorname{sen} 3\theta = 3 \operatorname{sen} \theta- 4 \operatorname{sen}^3\theta \,$	$\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$	$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}$
Fórmula del ángulo medio
$\operatorname{sen} \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$	$\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$	$\begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\operatorname{sen} \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\operatorname{sen} \theta} \end{align}$	$\cot \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$

Producto infinito de Euler

$\cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right) = {\operatorname{sen}(\theta)\over \theta}.$

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

Seno	$\operatorname{sen}^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$	$\operatorname{sen}^3\theta = \frac{3 \operatorname{sen}\theta - \operatorname{sen} 3\theta}{4}$
Coseno	$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$	$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}$	$\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}$
Otros	$\operatorname{sen}^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$	$\operatorname{sen}^3\theta \cos^3\theta = \frac{\operatorname{sen}^3 2\theta}{8}$

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

$\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

$\operatorname{sen}(x) \cos(y) = {\operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) \over 2}$

$\cos(x) \operatorname{sen}(y) = {\operatorname{sen}(x + y) - \operatorname{sen}(x - y) \over 2}$

Deducción de la identidad:

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1): $\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$ 2): $\cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3): $\cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

$\cos(x) \cos(y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) + \cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) + \cos(x - y)$

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x - y)

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

$\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

$\operatorname{sen}(a) + \operatorname{sen}(b) = 2 \operatorname{sen}\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) - \cos(b) = -2 \operatorname{sen}\left( \frac{a + b}{2} \right) \operatorname{sen}\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\operatorname{sen}(a) - \operatorname{sen}(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \operatorname{sen}\left( \frac{a - b}{2} \right)$

Paso de diferencia de cuadrados a producto

$1)sen^2(x)-sen^2(y)=$

$2)cos^2(x)-sen^2(y)=$

¿De donde se origina?

1) recordando:

$cos(x+y)=$

$cos(x-y)=$

multiplicando

$cos(x+y)cos(x-y)= cos^2(x)cos^2(y)-sen^2(x)sen^2(y)\,$

Sabemos que:

$sin^2(x)+cos^2(x)=$

$sin^2(y)+cos^2(y)=$

el la primera ecuación transponemos $cos^2(x)\,$ y en la segunda $sen^2(y)\,$

De tal manera que obtendremos:

$sen^2(x)=$

$cos^2(y)=$

aplicando esto en la ecuación inicial

$cos(x+y)cos(x-y)= cos^2(x)(1-sen^2(y))-sen^2(x)(1-cos^2(y))\,$

multiplicando

$1)sen^2(x)-sen^2(y)=$

De una manera análoga se halla el segundo teorema.

Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

$\operatorname{sen}{\left( x \right)} = \frac{\tan{\left( x \right)}}{ \sqrt{1 + \tan^2{ \left( x \right)}} }$

$\operatorname{sen}{\left( x \right)} = {2} \operatorname{sen}{\left( \frac{1}{2} x \right)} \cos{\left( \frac{1}{2} x \right)} = \frac{ 2 \tan{ \left( \frac{1}{2} x \right)}} { 1 + \tan^2{ \left( \frac{1}{2} x \right)}}$

$\cos{\left( x \right)} = \frac{1 - \tan^2{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{\left( \frac{1}{2}x\right)}}$

Funciones trigonométricas inversas

$\arctan(x)+\arctan(y)=$

Composición de funciones trigonométricas


$\operatorname{sin}^2(\arccos(x))=$ $\operatorname{sin}^2(\arctan(x))=$ $\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ $\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$	$\cos[\arctan(x)]=$ $\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$ $\operatorname{cos}^2(\arcsin(x))=$ $\cos^2(\arctan(x))=$

$\operatorname{sin}^2(\arccos(x))=$

$\operatorname{sin}^2(\arctan(x))=$

$\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$

$\cos[\arctan(x)]=$

$\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$

$\operatorname{cos}^2(\arcsin(x))=$

$\cos^2(\arctan(x))=$

Fórmula de productos infinitos

Seno	Coseno
$\operatorname{sen} x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$ $\operatorname{sen}h x = x \prod_{n = 31542}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$ $\frac{\operatorname{sen} x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$	$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$ $\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

Fórmula de Euler

$e^{ix} = \operatorname{cos{\left( x \right)}} + i\operatorname{ sen{\left( x \right)} }$

$e^{-ix} = \operatorname{cos{\left( x \right)}} - i\operatorname{ sen{\left( x \right)} }$

FUENTE: WIKIPEDIA

SOLO TIPS

Popular Posts

Colaboradores

SOLO TIPS

MENTE FILOSOFICA EN INGLES

LAVADO DE MUEBLES EN LIMA

TELEVISION DE TODO EL MUNDO

EL HOROSCOPO POR AMATISTA

SOLO TIPS

OPINIONES POLITICAS

ESPECTÁCULOS, NOTICIAS Y MÁS

JUEGOS ONLINE

Imágenes de Sólo tips

LinkWithin

PÁGINAS INTERESANTES

PROGRAMAS GRATUITOS

JUEGOS ONLINE

MÁS SITIOS ESOTÉRICOS

lunes, marzo 28, 2011

LUGARES DEL MUNDO DONDE SE HABLA ESPAÑOL

LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Relaciones básicas

Identidades del ángulo múltiple

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Producto infinito de Euler

Identidades para la reducción de exponentes

Paso de producto a suma

Deducción de la identidad:

Paso de suma a producto

Paso de diferencia de cuadrados a producto

¿De donde se origina?

Eliminar seno y coseno

Funciones trigonométricas inversas

Composición de funciones trigonométricas

Fórmula de productos infinitos

Fórmula de Euler

Compartir

The current time in Lima, Peru

Contáctanos

Seguidores

COLABORACIONES CON TU BLOG

NOTICIAS DEL MUNDO

Google+ Badge

TRANSLATE MY BLOG

Suscribirse a

Síguenos por e-mail

¿QUÉ PUEDE ENCONTRAR EN ESTE BLOG?

UN SITIO PARA COMPARTIR IDEAS

LIBROS DE MARDAM

DESARROLLO PERSONAL

CALCULADORA CIENTÍFICA

MARDAM (COACH MOTIVACIONAL)

PROPIETARIO DEL BLOG

MISCELÁNEA DE VIDEOS

Blogger Themes

ENTRETENIMIENTO

wibiya widget