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miércoles, enero 22, 2014

MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA

Definiciones. i)   La  ecuación :  ,  donde  a, b  y  c  son números reales y   a ¹  0, se ... thumbnail 1 summary


Definiciones.
i)  La  ecuación,  donde a, b y c son números reales y  a¹ 0, se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado en la variable x . 
ii)  Si   b  y c  son  distintos  de   cero,  la ecuación se llama  completa o afectadaincompleta, en caso contrario. 
Así,  las ecuaciones: yson cuadráticas completas, mientras que las ecuaciones: son cuadráticas incompletas. 
iii)  En  la  ecuación  cuadrática: ,  la cantidad:    es  llamada discriminante de la ecuación y su signo determina la naturaleza de las raíces, como lo afirma el siguiente teorema. 
Teorema.
Considere la ecuación cuadrática:a0. 
Si , entonces, las raíces son reales y diferentes
Si , entonces, las raíces son reales e iguales
Si , entonces, las raíces son complejas conjugadas
Solución de ecuaciones cuadráticas.
Para resolver la ecuación cuadrática, puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: 
Método 1. Solución por factorización .
Como  toda ecuación  cuadrática es  equivalente a  una ecuación  en la cual uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así: 
Si , , entonces,  la  ecuación   es equivalente a:(1). 
La  ecuación (1)  puede resolverse usando la  propiedad del sistema de los números reales: 
Método 2. Solución por completación de cuadrados.
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática. 
Se supone que la ecuación:,con 0 ,es equivalente a la ecuación cuadrática: 
(1). 
Sumando en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene: 
ó 
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si ), se obtiene: 

,de donde (2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación : 
Metodo 3 solucion por la formula general
Usando el método de completación de cuadrados, demuestre que la solución de la ecuación cuadrática : , con 0 viene dada por : 
 (1).
Solución :
La ecuación: , con 0 ,es equivalente a la ecuación : 
Sumando ,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene: 
O equivalentemente, 
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad(si b2-4ac >= 0), se obtiene: 
De donde : 

 (2)

La fórmula (2) se conoce como :fórmula general para resolver la ecuación cuadrática : ; con  a   0.  

  

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