LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Dentro de las matemáticas, las identidades trigonométricas son de gran utilidad para simplificar, convertir y/o determinar valores entre las distintas funciones.

Relaciones básicas

Relación pitagórica $\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,$ Identidad de la razón $\tan \theta = \frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta}$

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si $\scriptstyle\operatorname{sen} \theta \,=\, 1/2$ , la conversión propuesta en la tabla indica que $\scriptstyle\cos\theta\,=\,\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} = \sqrt{3}/2$ , aunque es posible que $\scriptstyle\cos\theta \,=\, -\sqrt{3}/2$ . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones trigonométricas en base a las otras cinco

sen	$\operatorname{sen} \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\csc \theta}$
cos	$\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}$	$\cos \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$
tan	$\frac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
cot	${\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} \over \operatorname{sen} \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	${1 \over \tan\theta}$	$\cot\theta\$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
sec	${1 \over \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	${1 \over \cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$	$\sec\theta\$	${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
csc	${1 \over \operatorname{sen} \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta\$

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\tan{x} = \frac {\operatorname{sen}{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\operatorname{sen}{x}}$

$\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\operatorname{sen}{x}}$

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

$\operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)$

$\operatorname{sen}(-x) = \operatorname{sen}(x+\pi) \qquad \cos(-x) = -\cos(x+ \pi)$

$\tan(-x) = -\tan(x) \qquad \cot(-x) = -\cot(x)$

$\operatorname{sen}(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos(x) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \qquad \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

$a\operatorname{sen}(x)+b\cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\operatorname{sen}\left( x+\arctan{\frac{b}{a}} \right)$

$\operatorname{sen}^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

$\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)$

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

$\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right)$

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

$\operatorname{sen}(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \qquad \operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\tan^{-2}(x)}}$

$\operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\cot^2(x)}} \qquad \operatorname{sen}(x) = \frac{1} {\sec{x}} \sqrt{\sec^2(x)-1}$

y análogamente con las restantes funciones .

Teoremas

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

$\operatorname{sen}(x \pm y) = \operatorname{sen}(x) \cos(y) \pm \cos(x) \operatorname{sen}(y)$

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

$\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

$\operatorname{sen}(\pi \pm x) = \mp\operatorname{sen}(x)$

$\cos(\pi \pm x) = -\cos(x)$

$\tan(\pi \pm x) = \pm\tan(x)$

$\csc(\pi \pm x) = \mp\csc(x)$

Para ángulos complementarios:

$\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{sen}(x)$

$\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot(x)$

$\csc\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec(x)$

$\sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc(x)$

$\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)$

Para ángulos opuestos:

$\operatorname{sen}\left(-x\right) = -\operatorname{sen}\left(x\right)$

$\cos\left(-x\right) = \cos\left(x\right)$

$\tan\left(-x\right) = -\tan\left(x\right)$

$\csc\left(-x\right) = -\csc\left(x\right)$

$\sec\left(-x\right) = \sec\left(x\right)$

$\cot\left(-x\right) = -\cot\left(x\right)$

Identidades del ángulo múltiple

Si T_n es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

$\operatorname{cos}(nx)=T_n(\cos(x)).$

Fórmula de De Moivre:

$\operatorname{cos}(nx)+i\operatorname{sen}(nx)=(\cos(x)+i\operatorname{sen}(x))^n$

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea $\operatorname{sen}(x+x)=$ ) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando

n = 2

Fórmula del ángulo doble
$\begin{align} \operatorname{sen} 2\theta &= 2 \operatorname{sen} \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \operatorname{sen}^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \operatorname{sen}^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\,$	$\cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\,$
Fórmula el ángulo triple
$\operatorname{sen} 3\theta = 3 \operatorname{sen} \theta- 4 \operatorname{sen}^3\theta \,$	$\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$	$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}$
Fórmula del ángulo medio
$\operatorname{sen} \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$	$\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$	$\begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\operatorname{sen} \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\operatorname{sen} \theta} \end{align}$	$\cot \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$

Producto infinito de Euler

$\cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right) = {\operatorname{sen}(\theta)\over \theta}.$

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

Seno	$\operatorname{sen}^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$	$\operatorname{sen}^3\theta = \frac{3 \operatorname{sen}\theta - \operatorname{sen} 3\theta}{4}$
Coseno	$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$	$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}$	$\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}$
Otros	$\operatorname{sen}^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$	$\operatorname{sen}^3\theta \cos^3\theta = \frac{\operatorname{sen}^3 2\theta}{8}$

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

$\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

$\operatorname{sen}(x) \cos(y) = {\operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) \over 2}$

$\cos(x) \operatorname{sen}(y) = {\operatorname{sen}(x + y) - \operatorname{sen}(x - y) \over 2}$

Deducción de la identidad:

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1): $\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$ 2): $\cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3): $\cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

$\cos(x) \cos(y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) + \cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) + \cos(x - y)$

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x - y)

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

$\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

$\operatorname{sen}(a) + \operatorname{sen}(b) = 2 \operatorname{sen}\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) - \cos(b) = -2 \operatorname{sen}\left( \frac{a + b}{2} \right) \operatorname{sen}\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\operatorname{sen}(a) - \operatorname{sen}(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \operatorname{sen}\left( \frac{a - b}{2} \right)$

Paso de diferencia de cuadrados a producto

$1)sen^2(x)-sen^2(y)=$

$2)cos^2(x)-sen^2(y)=$

¿De donde se origina?

1) recordando:

$cos(x+y)=$

$cos(x-y)=$

multiplicando

$cos(x+y)cos(x-y)= cos^2(x)cos^2(y)-sen^2(x)sen^2(y)\,$

Sabemos que:

$sin^2(x)+cos^2(x)=$

$sin^2(y)+cos^2(y)=$

el la primera ecuación transponemos $cos^2(x)\,$ y en la segunda $sen^2(y)\,$

De tal manera que obtendremos:

$sen^2(x)=$

$cos^2(y)=$

aplicando esto en la ecuación inicial

$cos(x+y)cos(x-y)= cos^2(x)(1-sen^2(y))-sen^2(x)(1-cos^2(y))\,$

multiplicando

$1)sen^2(x)-sen^2(y)=$

De una manera análoga se halla el segundo teorema.

Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

$\operatorname{sen}{\left( x \right)} = \frac{\tan{\left( x \right)}}{ \sqrt{1 + \tan^2{ \left( x \right)}} }$

$\operatorname{sen}{\left( x \right)} = {2} \operatorname{sen}{\left( \frac{1}{2} x \right)} \cos{\left( \frac{1}{2} x \right)} = \frac{ 2 \tan{ \left( \frac{1}{2} x \right)}} { 1 + \tan^2{ \left( \frac{1}{2} x \right)}}$

$\cos{\left( x \right)} = \frac{1 - \tan^2{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{\left( \frac{1}{2}x\right)}}$

Funciones trigonométricas inversas

$\arctan(x)+\arctan(y)=$

Composición de funciones trigonométricas


$\operatorname{sin}^2(\arccos(x))=$ $\operatorname{sin}^2(\arctan(x))=$ $\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ $\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$	$\cos[\arctan(x)]=$ $\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$ $\operatorname{cos}^2(\arcsin(x))=$ $\cos^2(\arctan(x))=$

$\operatorname{sin}^2(\arccos(x))=$

$\operatorname{sin}^2(\arctan(x))=$

$\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$

$\cos[\arctan(x)]=$

$\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$

$\operatorname{cos}^2(\arcsin(x))=$

$\cos^2(\arctan(x))=$

Fórmula de productos infinitos

Seno	Coseno
$\operatorname{sen} x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$ $\operatorname{sen}h x = x \prod_{n = 31542}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$ $\frac{\operatorname{sen} x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$	$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$ $\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$