CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE DETERMINANTES

La determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A.

El determinante de A se denota por |A| o por det (A).

A =

Determinante de orden uno

|a ₁₁| = a ₁₁

|5| = 5

Determinante de orden dos

= a ₁₁ a ₂₂ - a ₁₂ a ₂₁

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (a_ij). El determinante de A se define como sigue:

=

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a ₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ -

- a ₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₁₂ a₂₁ a ₃₃ - a₁₁ a₂₃ a_32.

=

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

Menor complementario de un elemento de un determinante

Se llama menor complementario de un elemento a_ij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Menor complementario de elemento a₂₂

=

Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a₂₃ en la matriz :

Adjunto de un elemento de un determinante

Se llama adjunto del elemento a_ij al menor complementario anteponiendo:

El signo es + si i+j es par.

El signo es - si i+j es impar.

_{Adjunto del elemento a21 (donde i + j = 3, por ello sale negativo)}

Hallando el adjunto del elemento a23:

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Cálculo de una determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 .

Esta explicación nos parece la más didáctica

Desarrollo de un determinante por los elementos de una linea.

El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una linea (fila o columna) por sus adjuntos.

Esta propiedad nos permite resolver determinantes de cualquier orden, puesto que al desarrollar por una linea, los determinantes que tenemos que calcular son de orden menor en una unidad y así, siempre podremos llegar a un determinante de orden 3, que ya sabemos calcular.

Para desarrollar por una linea es importante elegir la que más ceros tenga y utilizando la propiedad mencionada, hacer ceros todos los elementos de esa linea menos uno.

Ejemplo:

lo más cómodo es desarrollar por la 3ª columna, haciendo en ella todos los elementos cero, menos el segundo. Es importante recordar aqui, que si multiplicamos la linea a la que sumamos la combinación lineal de las demás por un número real, el determinante queda multiplicado por ese número.

Por ejemplo para hacer ceros, procedemos así:

El determinante de tres por tres que queda, ya se sabe como desarrollarlo. Se puede comprobar como haciendo ceros los elementos de una linea, sólo tenemos que calcular un determinante de tres por tres, los demás desaparecen al estar multiplicados por cero.

Propiedades de los determinantes

1.|A^t|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F₃ = F₁ + F₂

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

FUENTES
Terra.es
Ditutor
Vitutor