EJEMPLOS DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros es el mayor número que los divide sin dejar resto.

Cálculo del MCD

Los métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Por descomposición en factores primos

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos

De las factorizaciones de 48 y 60:

$\begin{array}{r|l} 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$

$48 = 2^4 \cdot 3 \,$

$\begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30& 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \,$

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

$\operatorname{mcd} (48, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12$

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualesquiera.

Ver: Factorización de enteros.

Usando el algoritmo de Euclides

Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño. Por ejemplo, si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Formalmente puede describirse como:

$\operatorname{mcd}(a,0) = a$

$\operatorname{mcd}(a,b) = \operatorname{mcd}(b,a - b \left\lfloor {a \over b} \right\rfloor).$

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general

Usando el mínimo común múltiplo

El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de a y b se obtiene mediante la siguente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo (mcm) de a y b:

$\operatorname{mcd}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{mcm}(a,b)}.$

MCD de tres o más números

El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue: $\ \operatorname{mcd}(a,b,c) = \operatorname{mcd}(a, \operatorname{mcd}(b,c))$ , aunque hay métodos más prácticos y sencillos.

Método de Nicómaco

Su cálculo se basa en restar el resto, del mayor número entre el menor número, al número menor hasta que nos dé el mismo número:

M.C.D (60,48) = 12

Propiedades

1. Si $\ \operatorname{mcd}(a,b)=d$ entonces $\ \operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1$

2. Si $\ m$ es un entero, $\ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)$

3. Si $\ p$ es un número primo, entonces $\ \operatorname{mcd}(p,m)=p$ o bien $\ \operatorname{mcd}(m,p)=1$

4. Si $d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1$ , entonces $\ d=d'$

5. Si $\ d'$ es un divisor común de $\ m$ y $\ n$ , entonces $d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)$

6. Si $\ m=nq+r$ , entonces $\operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)$

7. Si $\ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\;\, \mathrm y \;\, n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\;\, \alpha_i, \beta_i\geq 0, \;\, i=1,...,k$ , entonces:

$\operatorname{mcd}(m,n)=p_1^{\operatorname{min}(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k ^ {\operatorname{min} (\alpha_k, \beta_k)}$

La última propiedad indica que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.

Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

Aplicaciones

El MCD se utiliza para simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción $\scriptstyle \frac {48}{60}$ se calcula primero el mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada $\scriptstyle \frac {4}{5}$ .

El MCD también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo $\scriptstyle \frac {48 \cdot 60}{12} = 240$ .

EJEMPLOS

Forma sencilla de calcular:

a) Sacar el M. C. D. de 40 y 60:

1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

40	2	60	2
20	2	30	2
10	2	15	3
5	5	5	5
1		1

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.

MCD = 2x2x5= 20

M.C.D. 40 = 2x2x2x5

M.C.D. 60 = 2x2x3x5

b) Sacar el MCD de 24, 36 y 60

$\qquad 24 = 2^3 \cdot 3$
$\qquad 36 = \fbox{2^2} \cdot 3^2$
$\qquad 40 = 2^3 \cdot 5$

Factores comunes (a todos los números):

, y elvado al menor exponente (dentro de un recuadro) sería:

.
Por tanto:

$M.C.D.(24, 36, 40) = 2^2 = \fbox{4}$

c) Sacar el MCD de 2169 y 888

He aquí el principio: "dados dos enteros positivos

, se comienza por probar si

es nulo. En caso afirmativo, entonces el m.c.d. es igual a

. Si no, se calcula

, el resto de la division de

por

. Se sustituye

por

, y

por

, y se reinicia el método.

EUCLIDES

Calculemos por ejemplo, el m.c.d. de 2160 y 888 por este algoritmo con las siguientes etapas:


2160	888	384
888	384	120
384	120	24
120	24	0
24	0

Se sobreentiende que en la operación hemos dividido:
2160/ 888 =2 con resto 384
Luego
888/384= 2 con resto 120,
384/120= 3 con resto 24
120/24 = 5 con resto 0 (b es nulo) por tanto el MCD es igual a "a" o sea 24.

El m.c.d. de 2160 y 888 es, por tanto, 24. 24 es el mayor entero que divide simultáneamente a los dos números. De hecho, $2160=24\times90$ y $888=24\times37$ . El m.c.d. es, por tanto, el último resto no nulo.

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